Aljabar Boolean

ALJABAR BOOLEAN

Postulat sistem aljabar Boolean diperoleh dengan cara membuat asumsi-asumsi dari tabel kebenaran gerbang logika.

6.1. Postulat Aljabar Boolean yang diturunkan dari Gerbang logika

And

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Or

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Not

= 1

= 0

6.2. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan 1  variabel.

Postulat 1 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 1.

Bila X = 0  maka, X . 0 = 0 . 0 = 0

Bila X = 1 maka,  X . 0 = 1 . 0 = 0

Postulat 2 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 2.

Bila X = 0  maka,  X . 1 = 0 . 1 = 0

Bila X = 1  maka,  X . 1 = 1 . 1 = 1

Postulat 3 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 3.

Bila X = 0  maka,  X . X = 0 . 0 = 0

Bila X = 1  maka,  X . X = 1 . 1 = 1

Postulat 4 diturunkan dari gerbang And dan Not

Pembuktian postulat 4.

Bila X = 0  maka,  X .   = 0 . 1 = 0

Bila X = 1  maka,  X .   = 1 . 0 = 0

Postulat 5 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 5.

Bila X = 0  maka,  X + 0 = 0 + 0 = 0

Bila X = 1  maka,  X + 0 = 1 + 0 = 1

Postulat 6 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 6.

Bila X = 0, maka X + 1 = 0 + 1 = 1

Bila X = 1, maka X + 1 = 1 + 1 = 1

Postulat 7 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 6.

Bila X = 0, maka X + X = 0 + 0 = 0

Bila X = 1, maka X + X = 1 + 1 = 1

Postulat 8 diturunkan dari gerbang Or dan Not

Pembuktian postulat 8.

Bila X = 0  maka,  X +   = 0 + 1 = 1

Bila X = 1  maka,  X +   = 1 + 0 = 1

Variabel X pada  postulat 1 sampai 8 dapat dipakai untuk menyatakan suatu exspresi yang mengandung lebih dari satu variabel.

Contoh

A  . B = 0

Penyelesaian

Jika A  dianggap  X  maka, B =   

Pada postulat 4,    X .   = 0 jadi A  . B = 0

Dengan cara yang sama  semua postulat 1 sampai 8 dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu ekspresi yang mengandung lebih dari satu variabel seperti  

6.3. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan Multivariabel.

Postulat 9 diturunkan dari hukum komutatif.

(9)   X + Y  = Y + X

Urutan variabel dalam suatu penjumlahan tidak akan mengubah hasil penjumlahan.

Postulat 10 diturunkan dari hukum komutatif.

(10)   X . Y  = Y . X

Urutan variabel dalam suatu perkalian tidak akan mengubah hasil perkaliannya.

Postulat 11 diturunkan dari hukum asosiaatif.

(11)   X + (Y + Z)= (X  + Y) + Z  = X + Y + Z

Pengelompokan variabel dalam suatu penjumlahan dapat diubah sesuai dengan   yang diinginkan tanpa merubah hasil penjumlahannya.

Postulat 12 diturunkan dari hukum asosiaatif.

 (12)   X (YZ)= (X Y)Z  = XYZ

Pengelompokan  variabel dalam suatu perkalian dapat diubah sesuai dengan   yang diinginkan tanpa merubah hasil perkaliannya.

Postulat 13 diturunkan dari hukum distributif.

(13)   X + (Y + Z)= (X  + Y) + Z  = X + Y + Z

Suatu ekspresi dapat dijabarkan dengan cara mengalikan term demi term atau menguraikan term demi term apabila ada dua atau lebih term yang mengandung suatu variabel yang sama.

Contoh 

A  C +      =  ( A C +    )

A B C + A B D = A B ( C + D )

Contoh soal dan penyelesaian

Sederhanakan persamaan,

1.    Y = A  D + A  

Dengan menggunakan Postulat 13 variabel-variabel  A  dapat dikeluarkan sehingga,

Y = A  (D +  )

Dengan menggunakan Postulat 8 term dalam kurung nilainya = 1 jadi,

Y = A  (D +  ) = A  . 1 =  A

2.    Z = (  + B ) ( A +  )

   =  A +    + B A + B

Dengan menggunakan Postulat 4  term-term  A dan B  nilainya = 0 jadi,

Z = 0 +    + B A + 0

   =    + B A

6.4. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan pembuktian kasus.

Postulat 14 diturunkan dari pembuktian kasus

 (14)   X + (XY)= X

Pembuktian postulat 14.

Bila X = 0, Y = 0 maka,  X +(X Y) = 0 + (0 . 0 ) = 0

Bila X = 0, Y = 1 maka,  X +(X Y) = 0 + (0 . 1 ) = 0

Bila X = 1, Y = 0 maka,  X +(X Y) = 1 + (1 . 0 ) = 1

Bila X = 1, Y = 1 maka,  X +(X Y) = 1 + (1 . 1 ) = 1

Pembuktian postulat 14 dapat  juga dilakukan dengan postulat 6 sebagai berikut,

X +(X Y) = X (1 + Y)

             = X . 1 (disederhanakan dengan postulat 6)

            =  X     (disederhanakan dengan postulat 2)

Postulat 15 (a) dan (b)  diturunkan dari pembuktian kasus

(15 a)  + ( Y)= + Y

Pembuktian postulat 15(b).

Bila X = 0,  maka X +(  Y) = X + Y = 0 + (1. Y ) = Y

Bila X = 1,  maka  X +(  Y) = X + Y = 1 + (0. Y ) = 1

 (15 b)    + XY)=  + Y

Pembuktian postulat 15(a).

Bila X = 0,  maka    + (XY)=  + Y = 1 + (0 . Y ) = 1 + 0 = 1

Bila X = 1,  maka   + (XY)=  + Y = 0 + (1 . Y ) = 0 + Y = Y

Contoh  Penyederhanaan

 X = A  C  D +    C D

    =  C  D ( A +   B)      Variabel C D dikeluarkan

    =  C  D ( A + B)          dengan postulat 15 a ( A +   B) diganti ( A + B)

    = A C D + B C D

6.5. Postulat Aljabar Boolean dari Teorema DeMorgan.

Postulat 16 diturunkan dari Teorema DeMorgan.

(16) ( ) =  .

Komplemen dari suatu penjumlahan Or sama dengan perkalian And dari komplemen-komplemennya.

Postulat 17 diturunkan dari Teorema DeMorgan.

(17) ( ) =  +

Komplemen dari suatu perkalian And sama dengan penjumlahan Or dari komplemen-komplemennya.